Il problema: Massimizzare le preferenze dato il vincolo di bilancio.

Quale insieme di beni, tra tutti quelli potenzialmente acquistabili dal consumatore, rende massimo il suo benessere (o utilità), dati i suoi gusti, il suo reddito ed il prezzo dei beni? Quale paniere verrà scelto?
Ipotizziamo che la funzione di utilità sia :

I prezzi dei beni siano px=2 e py=4, il reddito di cui dispone il consumatore sia R=100.
La prima espressione rappresenta la funzione di utilità, le preferenze del consumatore. La seconda il vincolo di bilancio, il consumatore non può spendere più di una certa cifra.Il consumatore sceglie il paniere di beni che preferisce, tenendo conto del reddito disponibile. Dobbiamo massimizzare l’utilità sotto il vincolo di bilancio! Per risolvere il problema di  ottimizzazione vincolata si pùò ricorrere a tre metodi:
• il metodo della tangenza;
• il metodo di sostituzione;
• il metodo del moltiplicatore di Lagrange.
Metodo della tangenza tra la curva di indiffirenza e il vincolo di bilancio.
La condizione di tangenza tra curva di indifferenza e la retta di bilancio implica l’uguaglianza tra la pendenza della curva di indifferenza (SMS) e la pendenza della retta di bilancio (px/py).
Il Saggio marginale di sostituzione è dato dal rapporto tra le utilità marginali dei beni U= Umx/Umy.
Analiticamente si svolgono le derivate parziali della funzione di utilità. Attraverso il metodo di tangenza, per trovare il paniere ottimo si deve risolvere il seguente sistema:

Risolvendo il sistema troviamo le scelte ottimali di x e y.
Procediamo per gradi:
• Dobbiamo eguagliare il SMS e il rapporto tra i prezzi, tale eguaglianza impone che nel punto di ottimo la curva di indifferenza più alta sia tangente al vincolo di bilancio, ossia che le curve abbiano la stessa pendenza.
Troviamo il SMS:

• Mettendo a sistema il SMS che eguaglia il rapporto tra i prezzi e il vincolo di bilancio e risolvendo il sistema di due equazioni in due incognite, si ottengono le quantità dei beni che compongono il paniere ottimo (x*;y*).

Il paniere ottimo è x*=25 e y*=12,5.





Metodo di sostituzione
Con il metodo di sostituzione è possibile risolvere il problema di massimizzazione esplicitando il vincolo di bilancio rispetto a uno dei due beni, ad esempio y, in funzione dell’altro bene e del reddito e successivamente sostituendo l’espressione ottenuta nel vincolo di bilancio.
• Esplicitiamo la retta di bilancio in funzione di y:

• sostituiamo nella funzione di utilità:

otteniamo la funzione di utilità in una sola variabile x. Per trovare il valore di x dobbiamo calcolare la derivata prima e porla uguale a zero.
• Troviamo la derivata prima della funzione di utilità:

numeratore uguale a zero
50−2x=0 x=25
da cui si ottiene x=25
• per determinare la quantità ottimale di y possiamo sostituire x nel vincolo di bilancio:

Il paniere ottimo è x*=25 e y=12,5

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Il metodo di Lagrange si basa sulla costruzione di una funzione da massimizzare: la funzione Lagrangiana. Il teorema di Lagrange afferma che una scelta ottima deve soddisfare le seguenti condizioni di primo ordine:

con questo metodo si ottiene un sistema formato da tre equazioni in tre incognite, da cui si ricava il paniere ottimo x* e y*.Per risolvere il problema occorre determinare le condizioni di primo ordine, calcolare le derivare parziali della lagrangiana rispetto a x, y e λ e porle uguale a zero.
• Le derivate parziali :

• esplicitiamo la λ dalle prime due condizioni ed eguagliando le due equazioni otteniamo un’unica
equazione in due incognite x e y.

• moltiplichiamo e dividiamo per x 1/2 e y

mettiamo a sistema la relazione ottenuta con il vincolo di bilancio:

Il paniere ottimo è x*=25 e y=12,5